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राजस्थान लोक सेवा आयोग, अजमेर  

**वरिष्ठ शिक्षक (माध्यमिक शिक्षा विभाग) के पद के लिए परीक्षा का पाठ्यक्रम**  

**पेपर-II**  

**गणित**  

### माध्यमिक और उच्च माध्यमिक स्तर:

**संख्या प्रणाली:**  

परिमेय संख्याएँ (आवर्ती/समाप्त दशमलव के रूप में), अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व, वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार, वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ, वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम। यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका, अंकगणित का मौलिक प्रमेय।

**ज्यामिति:**  

रेखाएँ और कोण, एक बिंदु पर कोणों के गुण, समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा, त्रिभुज की भुजाएँ और कोण, त्रिभुज के गुण, त्रिभुजों की सर्वांगसमता, समरूप त्रिभुज, त्रिभुज में असमानताएँ, माध्यिकाओं और शीर्षलंबों का संगामी होना, चतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, समलंब और वर्ग के कोणों, भुजाओं और विकर्णों के गुण। मध्य-बिंदु प्रमेय। वृत्त और इससे संबंधित शब्दावली, केंद्र से जीवा पर लंब, समान जीवाएँ और उनकी केंद्र से दूरी, वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण, चक्रीय चतुर्भुज, वृत्त पर एक बिंदु से स्पर्श रेखाएँ।

**क्षेत्रमिति:**  

**(i) क्षेत्रफल:** त्रिभुज, चतुर्भुज और वृत्त से संबंधित समतल आकृतियों का क्षेत्रफल। वृत्त के त्रिज्यखंड और वृत्तखंड का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल और परिमाप/परिधि पर आधारित समस्याएँ।  

**(ii) पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन:** घन, घनाभ, गोला (अर्धगोला सहित) और लंब वृत्तीय बेलन/शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन। एक प्रकार के धातु ठोस को दूसरे प्रकार में बदलने और अन्य मिश्रित समस्याएँ।

**बीजगणित:**  

बहुपद की घात, अचर, रैखिक, द्विघात, त्रिघात बहुपद; बहुपद/समीकरण के शून्यक/मूल। बहुपद/समीकरण के शून्यक/मूल और गुणांकों के बीच संबंध। शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय पर आधारित समस्याएँ। वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण, मूलों और गुणांकों के बीच संबंध, दिए गए मूलों वाले द्विघात समीकरणों का निर्माण। रैखिक और द्विघात असमिकाएँ। सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित, जोड़, गुणा, संयुग्मी, ध्रुवीय निरूपण, मापांक और मुख्य कोण के गुण, त्रिभुज असमिका, इकाई के घनमूल, ज्यामितीय व्याख्या। समांतर और गुणोत्तर श्रेणी, समांतर और गुणोत्तर माध्य, परिमित समांतर और गुणोत्तर श्रेणियों का योग, अनंत गुणोत्तर श्रेणी, समांतर-गुणोत्तर श्रेणी। पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग, पहली n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों और घनों का योग, गणना का मौलिक सिद्धांत। फैक्टोरियल n। क्रमचय और संचय और सरल अनुप्रयोग। धनात्मक पूर्णांक सूचकांक के लिए द्विपद प्रमेय, सामान्य पद और मध्य पद, द्विपद गुणांकों के गुण।

**आव्यूह और सारणिक:**  

आव्यूह, आव्यूहों का बीजगणित, आव्यूहों के प्रकार, दो और तीन क्रम के सारणिक, सारणिकों के गुण, आव्यूह का सहखंडज और सारणिकों और प्रारंभिक रूपांतरणों का उपयोग करके वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात करना। दो या तीन चरों में रैखिक समीकरणों की संगति और हल का परीक्षण।

**समुच्चय, संबंध और फलन:**  

समुच्चय और उनके निरूपण। विभिन्न प्रकार के समुच्चय। वेन आरेख। समुच्चयों पर संक्रियाएँ। डी-मॉर्गन के नियम और उन पर आधारित व्यावहारिक समस्याएँ। क्रमित युग्म, संबंध, संबंधों का प्रांत और सह-प्रांत, तुल्यता संबंध। संबंध के विशेष मामले के रूप में फलन, फलन का प्रांत, सह-प्रांत, परिसर, व्युत्क्रमणीय फलन, सम और विषम फलन, एकैकी, आच्छादक और एकैकी-आच्छादक फलन, विशेष फलन (बहुपद, त्रिकोणमितीय, घातांकीय, लघुगणकीय, घात, निरपेक्ष मान, महत्तम पूर्णांक आदि), फलनों का योग, अंतर, गुणन और संयोजन।

**त्रिकोणमिति:**  

धनात्मक और ऋणात्मक कोण। रेडियन और डिग्री में कोणों का मापन और एक माप से दूसरे में रूपांतरण। संलग्न कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात। त्रिकोणमितीय फलन और उनकी आवर्तता, जोड़ और घटाव सूत्र, बहु और उप-बहु कोणों से संबंधित सूत्र, त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (मुख्य मान केवल) और उनके प्रारंभिक गुण। ऊँचाई और दूरी पर आधारित समस्याएँ।

**विश्लेषणात्मक ज्यामिति:**  

**(i) द्वि-आयाम:** कार्तीय निर्देशांक, दो बिंदुओं के बीच की दूरी, खंड सूत्र, मूल बिंदु का विस्थापन। विभिन्न रूपों में एक सरल रेखा का समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण, एक बिंदु से रेखा की दूरी; दो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ, दो रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक का समीकरण, रेखाओं का संगामी होना; त्रिभुज का केन्द्रक, लंबकेन्द्र, अंत:केन्द्र और परिकेन्द्र। द्वितीय घात का सामान्य समीकरण। शांकव की प्रकृति। विभिन्न रूपों में वृत्त का समीकरण, स्पर्श रेखा, अभिलंब और जीवा का समीकरण। वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण, एक सरल रेखा या वृत्त के साथ वृत्त का प्रतिच्छेदन, दो वृत्तों और एक वृत्त और एक सरल रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण। परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के समीकरण, उनके नाभि, नियता और उत्केन्द्रता, पैरामीट्रिक समीकरण, स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण। बिंदुपथ पर आधारित समस्याएँ। शांकव का ध्रुवीय समीकरण, स्पर्श रेखा, अभिलंब, अनंतस्पर्शी, संपर्क जीवा, सहायक वृत्त, शांकव के निर्देशक वृत्त और संबंधित समस्याएँ।  

**(ii) त्रि-आयाम:** दो बिंदुओं के बीच की दूरी, दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात, अंतरिक्ष में एक सरल रेखा का समीकरण, तिर्यक रेखाएँ, दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी, एक समतल का समीकरण, एक बिंदु से समतल और रेखा की दूरी, समतल और रेखा के कार्तीय और सदिश समीकरण। (i) दो रेखाओं, (ii) दो समतलों, (iii) एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण। समतलीय रेखाएँ।

**कलन:**  

सीमा, सांतत्य और अवकलनीयता। दो फलनों के योग, अंतर, गुणन और भागफल का अवकलन। त्रिकोणमितीय, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय, घातांकीय, संयुक्त और अंतर्निहित फलनों का अवकलन; द्वितीय और तृतीय क्रम के अवकलज। रोले और लाग्रांज के माध्य मान प्रमेय, अवकलज के अनुप्रयोग: राशियों के परिवर्तन की दर, एकरसता से बढ़ते और घटते फलन, एक चर के फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ, स्पर्श रेखा और अभिलंब।  

प्रतिअवकलज के रूप में समाकलन, प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्न और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके विभिन्न प्रकार के फलनों का समाकलन। निश्चित समाकल और उनके गुण, सरल वक्रों के नीचे क्षेत्रफल ज्ञात करने में निश्चित समाकल का अनुप्रयोग, विशेष रूप से रेखाएँ, वृत्त/परवलय/दीर्घवृत्त आदि के चाप, दिए गए वक्रों के बीच का क्षेत्रफल (क्षेत्र स्पष्ट रूप से पहचानने योग्य होना चाहिए)।

**सदिश बीजगणित:**  

सदिश और अदिश, सदिश का परिमाण और दिशा। सदिशों के दिक्-कोसाइन/अनुपात। सदिशों के प्रकार (समान, इकाई, शून्य, समांतर और संरेख सदिश आदि), एक बिंदु का स्थिति सदिश, सदिश का ऋणात्मक, सदिश के घटक, सदिशों का योग, एक अदिश से सदिश का गुणन, एक रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश। सदिशों का अदिश (डॉट) गुणन, एक रेखा पर सदिश का प्रक्षेपण। सदिशों का सदिश (क्रॉस) गुणन। अदिश और सदिश त्रिक गुणन और उनसे संबंधित समस्याएँ।

**सांख्यिकी और प्रायिकता:**  

समूहीकृत और असमूहीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यिका, बहुलक, समूहीकृत और असमूहीकृत आँकड़ों के लिए मानक विचलन, प्रसरण और माध्य विचलन की गणना। प्रायिकता: एक घटना की प्रायिकता, प्रायिकता का योग और गुणन प्रमेय, सप्रतिबंध प्रायिकता, बेयस प्रमेय, यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण, बर्नौली परीक्षण और द्विपद वितरण।

### स्नातक स्तर:

**अमूर्त बीजगणित:**  

समूह की परिभाषा और उदाहरण। समूह के सामान्य गुण, समूह के एक तत्व का क्रम। क्रमचय: सम और विषम क्रमचय। क्रमचय के समूह। चक्रीय समूह, केली का प्रमेय। उपसमूह, कोसेट, लाग्रांज का प्रमेय, उपसमूहों का गुणन प्रमेय, संयुग्मी तत्व, संयुग्मी समुच्चय, समूह का केंद्र, सरल समूह, समूह का केंद्र, एक तत्व और एक समुच्चय का प्रसामान्यकर्ता। प्रसामान्य उपसमूह, भागफल समूह, समूह समरूपता और समाकृतिकता के प्रारंभिक गुण, समूहों में समरूपता का मौलिक प्रमेय। समूहों के समाकृतिकता प्रमेय।

**वास्तविक विश्लेषण:**  

पूर्ण क्रमित क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ, रैखिक समुच्चय, निम्न और उच्च परिबंध, सीमा बिंदु, संवृत और खुले समुच्चय, वास्तविक अनुक्रम, अनुक्रम की सीमा और अभिसरण, श्रेणी का अभिसरण, श्रेणी के अभिसरण के लिए परीक्षण, निरपेक्ष अभिसरण, फलनों के अनुक्रम और श्रेणी का एकसमान अभिसरण।

**सम्मिश्र विश्लेषण:**  

फलन, सम्मिश्र फलनों की सीमा, सांतत्य और अवकलनीयता। विश्लेषणात्मक फलन की अवधारणा, कार्तीय और ध्रुवीय रूप में कॉची-रिमान समीकरण। हार्मोनिक फलन, संयुग्मी फलन, संरूपी प्रतिचित्रण।

**कलन:**  

ध्रुवीय निर्देशांक। त्रिज्या सदिश और स्पर्श रेखा के बीच का कोण। ध्रुवीय रूप में वक्रों के बीच का कोण। ध्रुवीय उपस्पर्श रेखा और ध्रुवीय उपअभिलंब की लंबाई, वक्र का पेडल समीकरण, चाप के अवकलज, वक्रता, विभिन्न सूत्र, वक्रता केंद्र और वक्रता जीवा और संबंधित समस्याएँ। आंशिक अवकलन, समघात फलनों पर यूलर का प्रमेय, आंशिक अवकलन की श्रृंखला नियम, दो स्वतंत्र चरों और एक संबंध से जुड़े तीन चरों के फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ, लाग्रांज की अनिर्धारित गुणकों की विधि। अनंतस्पर्शी, द्वि-बिंदु, वक्र अनुरेखण, आवरण और विकासक। बीटा और गामा फलनों का सिद्धांत। समाकलन और वक्र की लंबाई ज्ञात करना। घूर्णन ठोसों का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल। समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन और समाकलन। द्वि और त्रि-समाकलन का मूल्यांकन और क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने में उनके अनुप्रयोग। डिरिचले का समाकल। समाकलन के क्रम का परिवर्तन और ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तन।

**अवकल समीकरण:**  

प्रथम कोटि और प्रथम घात के साधारण अवकल समीकरण, प्रथम कोटि लेकिन प्रथम घात के नहीं, क्लेरो के समीकरण, सामान्य और विशिष्ट हल, अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण, समघात अवकल समीकरण, द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण, प्रथम कोटि के युगपत रैखिक अवकल समीकरण।

**सदिश कलन:**  

कर्ल, ग्रेडिएंट और डाइवर्जेंस और इन संक्रियाओं से संबंधित सर्वसमिकाएँ और समस्याएँ। स्टोक्स, ग्रीन और गॉस प्रमेयों पर आधारित समस्याएँ।

**त्रि-आयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति:**  

**(i) गोला:** सामान्य समीकरण, स्पर्श तल, ध्रुव और ध्रुवीय, दो गोलों का प्रतिच्छेदन।  

**(ii) शंकु:** आवरण शंकु, स्पर्श तल, पारस्परिक शंकु, तीन परस्पर लंब जनक, लंब वृत्तीय शंकु।  

**(iii) बेलन:** लंब वृत्तीय बेलन, आवरण बेलन।

**स्थैतिकी और गतिकी:**  

समतलीय बलों का संयोजन और विभाजन, दो दी गई दिशाओं में एक बल का घटक, संगामी बलों, समांतर बलों और आघूर्ण का संतुलन, वेग और त्वरण, नियत त्वरण के अंतर्गत सरल रैखिक गति, गति के नियम, प्रक्षेप्य।

**रैखिक प्रोग्रामिंग:**  

परिचय, संबंधित शब्दावली जैसे प्रतिबंध, उद्देश्य फलन, अनुकूलन, रैखिक प्रोग्रामिंग (L.P.) समस्याओं के विभिन्न प्रकार, L.P. समस्याओं का गणितीय निरूपण, दो चरों में समस्याओं के लिए आलेखीय विधि, संभव और असंभव क्षेत्र, संभव और असंभव हल, इष्टतम संभव हल (तीन गैर-तुच्छ प्रतिबंधों तक)। उत्तल समुच्चय और उनके गुण। सिंप्लेक्स विधि। रैखिक प्रोग्रामिंग में द्वैत की अवधारणा। द्वैत प्रोग्रामिंग का निर्माण। नियतन समस्याएँ, परिवहन समस्याएँ।

**संख्यात्मक विश्लेषण और अंतर समीकरण:**  

अंतर संकारक और फैक्टोरियल संकेतन, बहुपद के अंतर, अग्र और पश्च प्रक्षेप के लिए न्यूटन के सूत्र। विभाजित अंतर, विभाजित अंतर और सरल अंतर के बीच संबंध। न्यूटन का सामान्य प्रक्षेप सूत्र, लाग्रांज प्रक्षेप सूत्र। केंद्रीय अंतर, गॉस, स्टर्लिंग और बेसेल प्रक्षेप सूत्र। संख्यात्मक अवकलन। संख्यात्मक समाकलन, न्यूटन-कोट्स समाकलन सूत्र, गॉस का समाकलन सूत्र, अभिसरण, त्रुटियों का अनुमान, अतींद्रिय और बहुपदीय समीकरण, द्विभाजन विधि, पुनरावृत्ति विधि, समलंब, सिम्पसन और वेडल के नियम। अचर और चर गुणांकों वाले रैखिक अंतर समीकरणों का हल। बीजीय और अतींद्रिय समीकरणों का हल, पुनरावृत्ति, रेगुला फाल्सी और न्यूटन-राफसन विधियाँ। अभिसरण, प्रथम और उच्च कोटि के समघात रैखिक अंतर समीकरण, असमघात रैखिक अंतर समीकरण, पूरक फलन, विशिष्ट समाकल।

### शिक्षण विधियाँ:

- गणित का अर्थ और प्रकृति।

- गणित शिक्षण के सामान्य और विशिष्ट उद्देश्य और ब्लूम वर्गीकरण।

- गणित शिक्षण की विधियाँ (विश्लेषणात्मक, संश्लेषणात्मक, आगमनात्मक, निगमनात्मक, अन्वेषणात्मक, परियोजना और प्रयोगशाला)।

- निरीक्षित अध्ययन, प्रोग्राम्ड लर्निंग, गणित में रचनात्मक शिक्षण।

- पाठ योजना (हर्बर्टियन दृष्टिकोण), इकाई योजना (मॉरिसन दृष्टिकोण) का महत्व और अर्थ।

- गणित में श्रव्य-दृश्य साधन।

- सहसंबंध की अवधारणा और अन्य विषयों के साथ संबंध के संदर्भ में इसके प्रकार।

- गणित शिक्षक की शैक्षणिक और व्यावसायिक विशेषताएँ।

- गणित में पाठ्यक्रम विकास के सिद्धांत।

- भारतीय गणितज्ञों का योगदान।

- संज्ञानात्मक, भावात्मक और मनोप्रेरक क्षेत्र में गणित में मूल्यांकन।

- इकाई परीक्षण, उपलब्धि परीक्षण, नैदानिक परीक्षण का महत्व और विशेषताएँ और उनके तैयार करने के चरण।

- पिछड़े बच्चों के लिए नैदानिक और उपचारात्मक कार्यक्रम और प्रतिभाशाली बच्चों के लिए संवर्धन कार्यक्रम।

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वरिष्ठ शिक्षक के पद के लिए प्रतियोगी परीक्षा के लिए:

1. प्रश्न पत्र का अधिकतम अंक 300 होगा।

2. प्रश्न पत्र की अवधि दो घंटे तीस मिनट होगी।

3. प्रश्न पत्र में बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या 150 होगी।

4. उत्तरों के मूल्यांकन में नकारात्मक अंकन लागू होगा। प्रत्येक गलत उत्तर के लिए उस प्रश्न के लिए निर्धारित अंकों का एक तिहाई काटा जाएगा।

5. प्रश्न पत्र में निम्नलिखित विषय शामिल होंगे:  

   (i) माध्यमिक और उच्च माध्यमिक स्तर के संबंधित विषय की जानकारी।  

   (ii) स्नातक स्तर के संबंधित विषय की जानकारी।  

   (iii) संबंधित विषय की शिक्षण विधियाँ।